纯（代）函数压轴系列汇总（1）——中考备考

推荐阅读:

1.《图解精析中考数学压轴题》试读版(共56页）（一本类似于字典式的压轴题解析工具书，分类具体细致（含知识点详细目录），查找题型如同查字典；一本画给你看的书，有图有真相，思路方法自然生成;一本厚而实（内含294道压轴题）的课外数学读物;一本一线教师多年教学经历的结晶而成的实用且可操作性强的书;一本值得有理想和上进的师生拥有的集思路和方法于一体的书！…，感谢你关注本书！）

2.2019年中考数学答题需提前训练与适应的几点建议(同样适用于平时的期中期末月考等考试，及早适应及早信心足！）

强调:如果你想学几何画板，请关注本公众号,进入后,输入"1",即可获得本人录制的622分钟免费视频教程观看地址.

纯（代）函数系列汇总（1）

---

【试题1】设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）如果已知二次函数y=x²﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；

（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．

---

【图文解析】

（1）由k＝2018＞0可知，反比例函数y=2018/x在当1≤x≤2018（即闭区间[1，2018]）时，y随x的增大而减小．而且当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1，所以1≤y≤2108．再根据“闭函数”的定义（即对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”）．因此反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．

详细过程如下：

∵k=2018时，∴当1≤x≤2018时，y随x的增大而减小．

∴当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1．

∴1≤y≤2108．

∴反比例函数y=2018/x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．

（2）由二次函数y=x²﹣4x+k可得其对称轴为x=2，又由于a=1＞0，根据二次函数的性质可知函数y=x²﹣4x+k当x＞2时(即在闭区间[2，t]上)， y随x的增大而增大，同时：当x=2，y=k﹣4时，当x=t，y=t²﹣4t+k，根据“闭函数”的定义，可得k﹣4＝2且t²﹣4t+k＝t.解之即可.

---

详细过程如下：

∵对于二次函数y=x²﹣4x+k，其对称轴为x=2，且a=1＞0，

∴二次函数y=x²﹣4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大．

∵二次函数y=x²﹣2x﹣k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，且当x=2时，y=k﹣4，x=t时，y=t²﹣4t+k．

（3）由（2）知：二次函数y=x²﹣4x+6＝(x－2)²+2是闭区间[2，3]上的“闭函数”.

      由已知“二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点”，得A（2，2），C（0，6）.

      因“B为直线x=1上的一点”，所以可设B（1，t），如下图示：

通法：（计算较繁）

      如下图示：    

由勾股定理，不难得到:

           AC²=2²+(2﹣6)²，

           AB²=(2﹣1)²+(2﹣t)²，

           BC²=1²+(t﹣6)²，

      当△ABC为直角三角形时，显然要分成三种情况，

①当∠ABC=90°时，AB²+BC²=AC²，

      即(2﹣1)²+(2﹣t)²+(t﹣6)²+1

　              =2²+（2﹣6）²，

      化简，得t²﹣8t+11=0， 

②当∠BAC=90°时，AB²+AC²=BC²，

      即(2﹣1)²+(2﹣t)²+2²+(2﹣6)²

         =1²+（t﹣6）²，

      化简，得8t=12，

      解得t=3/2，所以B（1，3/2）.

③当∠ACB=90°时，AC²+CB²=AB²，

      即2²+(2﹣6)²+1²+(t﹣6)²

        =(2﹣1)²+(2﹣t)²，

     化简，得2t=13，

　　解得t=13/2，

　　所以B（1，13/2）.     

      当然可用下列方法：（如下图示）.

【反思】重点理解“新定义（闭函数）”的概念是解题的关键是利用的定义，第（3）小题要注意分类讨论．

---

【试题2】已知一次函数y₁=x+b 的图象与二次函数y₂=a（x²+bx+3）（a≠0，a，b 为常数）的图象交于A、B 两点，且点A 的坐标为（0，3）

（1）求出a，b 的值；

（2）求出点B 的坐标，并直接写出当y₁≥y₂≥－x时x 的取值范围；

（3）设s=y₁+y₂，t=y₁﹣y₂，若n≤x≤m 时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，求m－n 的最大值．

【图文解析】

（3）先分别求出两函数s、t的解析式，并配方成顶点式，写出当s随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大的x的取值，与n≤x≤m相比较对应得出结论．

　　 s=y₁+y₂=x+3+x²+3x+3

　　　=x²+4x+6=（x+2）²+2，

      因抛物线开口向上，所以当x≥﹣2时，s 随着x 的增大而增大，

同样t=y₁﹣y₂=x+3﹣（x²+3x+3）

　　=﹣x²﹣2x=﹣（x+1）²+1，

      因抛物线开口向下，当x≤﹣1时，t随着x 的增大而增大，

      所以当﹣2≤x≤﹣1时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大.

      如下图示，又因n≤x≤m，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，所以n 的最小值﹣2，m 的最大值﹣1．

【反思】熟练掌握一次函数和二次函数的性质，利用数形结合思想是解题的关键。

---

---

下面是本人主编或编著的书(点击书名，打开对应书籍的相关说明、目录与样章)：

购买渠道:"微店"(打开相关文章，扫描文中的二维码进店购买).

提醒：任何淘宝网均无授权销售，请朋友们认清购买渠道．

请分享转发给需要的朋友，谢谢！

【试题3】在平面直角坐标系xoy中，抛物线C：y=mx²+4x+1．

（1）当抛物线C经过点A（﹣5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）若抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；

（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：

      关于x的方程x﹣4=（a－3）/x在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．

【图文解析】

（1）简析：直接把点A（﹣5，6）代入抛物线解析式y=mx²+4x+1，可求得m＝1，则y=x²+4x+1=（x+2）²﹣3.因此抛物线的顶点为（﹣2，﹣3）.

（2）由抛物线C：y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间，结合抛物线的草图（如下图示），可以得到：

【反思】抛物线y=mx²+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），等价于：“关于x的一元二次方程mx²+4x+1＝0（m＞0）的两个实数根x_1,2满足0 ≤x_1,2≤－1.

（3）将方程x﹣4=(a－3)/x去分母，整理后，可得：x²﹣4x﹣a+3＝0.

      由上述解题思路可知：方程x﹣4=(a－3)/x在0＜x＜4范围内有两个解，即抛物线y=x²﹣4x﹣a+3与x轴在0＜x＜4范围内有两个交点，如下图示，结合图象可知当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0.

【反思】抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．

---

---

【试题4】已知二次函数y=ax²+bx+c，

（1）若a=3，b=2，c=1，求该抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若a=3，b=2，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（3）若b=0，且当x=1时，有﹣1≤y≤2；当x=2时，有﹣3≤y≤5．试问当x=3时，y的取值范围．（请直接写出答案）

---

【图文解析】

（1）简析：依题意，得y=3x²+2x+1，

令y=0，得到3x²+2x﹣1=0，解得x=﹣1或1/3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（1/3，0）．

（2）基本思路：首先确保抛物线与x轴有交点，再讨论在﹣1＜x＜1的范围内交点的情况：利用抛物线的“连续不间断性”，根据在当x=－1和1的函数值的符号来确定.

      当a=3，b=2时，抛物线为y＝3x²+2x+c，因抛物线与x轴有公共点，因此判别式△=4﹣12c≥0，解得c≤1/3．

      ①当c=1/3时，如下图示：

   由方程3x²+2x+1/3=0，解得x₁=x₂=﹣1/3．此时抛物线与x轴只有一个公共点（﹣1/3，0），符合题意.

      ②当c＜1/3时，

      当x₁=﹣1时，y₁=3﹣2+c=1+c；当x₂=1时，y₂=3+2+c=5+c；

      所以当抛物线经过（-1，0）时，1+c =0，c=-1，当抛物线经过（1，0）时，5+c＝0，得c=－5.如下图示：

      又由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x=﹣1/3，应有y₁≤0，且y₂＞0. 如下图示，

      综合①，②得c的取值范围是：c=1/3或﹣5＜c≤﹣1．

（3）首先由已知，不难得到：

      由当x=1时，﹣1≤y≤2得：
      ﹣1≤a﹣c≤2……①

      由当x=2时，﹣3≤y≤5得：

      ﹣1≤4a﹣c≤5……②

      而当x=3时，y=9a﹣c.

      接下来，要想方设法用不等式①和②求出9a﹣c的取值范围。当然可以先分别求a和c的取值范围、再代入求出——相对较繁较难；也可将9a﹣c化为关于“a﹣c”和“4a﹣c”的“代数和”形式，然后利用不等式的性质，用“a﹣c”和“4a﹣c”整体代入求出9a﹣c的取值范围。

      为此可设9a﹣c=m(a﹣c)+n(4a﹣c)(m、n为常数).化简整理得，9a﹣c＝（m+4n）a+(m+n)c.则有：

【反思】抛物线与x轴的交点的坐标特点及二次函数的性质（增减性即单调性（高中概念））、不等式的性质等知识，解题的关键是：①用分类讨论的思想思考问题，②将9a－c化为关于“a﹣c”和“4a﹣c”的“代数和”形式——用的方法就是方程思想.

[相关文章]

尖子生之路[中考复习系列]

---

---

中考压轴题复习教学体会系列

---

---

你的点赞和分享，就是给予我信心和动力！

扫描下列二维码，关注本公众号，进入后，

输入"book"或"样章"或"教辅"(均不含双引号)可得到本人主编和编著的相关书籍的详细编写说明、目录和样章.

输入"尖子生"或"培优系列"(均不含双引号)可得到相应的"尖子生之路"和"培优系列"各个按年级汇总的所有文章.

输入"搜索文章"可得到如何快速查找本公众号的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……

输入"abcd"可得到：所有关键词与对应的输出结果（陆续更新中）

您的点赞是对我的鼓励和肯定，

您的分享和转发是我坚持的信心和动力！  

---